\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\usepackage{amssymb,times,mathtime}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[polish]{babel}
\pagestyle{empty}
\geometry{nohead,nofoot}
\renewcommand\boldmath{}
\usepackage[thmmarks]{ntheorem}
\frenchspacing
\theoremheaderfont{\normalfont\bfseries}
\theoremseparator{.}
\theorembodyfont{\normalfont\upshape}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{zadanie}{Zadanie}
\newcommand\real{\mathbb{R}}
\newcommand\nat{\mathbb{N}}
\begin{document}
\title{Logika dla informatyków}
\author{Lista zadań nr 0}
\date{3 października 2002}
\maketitle
\thispagestyle{empty}

\begin{zadanie}
Oto fragment raportu policji sporządzony przez młodego aspiranta:
\begin{quote}\itshape
Świadek nie był zastraszony lub też, jeśli Henry popełnił samobójstwo,
to testament odnaleziono. Jeśli świadek był zastraszony, to Henry nie
popełnił samobójstwa. Jeśli testament odnaleziono, to Henry popełnił
samobójstwo. Jeśli Henry nie popełnił samobójstwa, to testament
odnaleziono.
\end{quote}
Co komendant policji może wywnioskować z powyższego raportu (poza
oczywiastym faktem, że należy zwolnić aspiranta)? Odpowiedz na pytania:
\emph{"`Czy świadek był zastraszony? Czy Henry popełnił samobójstwo? Czy
testament odnaleziono?''}
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Pośród członków pewnego klubu lingwistycznego każdy uczy się
francuskiego, niemieckiego lub hiszpańskiego. Wiadomo, że 20 uczy się
francuskiego, 12 francuskiego i hiszpańskiego, 16 niemieckiego, 16
hiszpańskiego, 4 francuskiego i niemieckiego, 7 niemieckiego i
hiszpańskiego, 3 wszystkich trzech języków. Ilu członków liczy klub?
Ilu z nich uczy się dokładnie dwóch języków?
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Oto przykład trzech wnioskowań przez indukcję:
\begin{enumerate}
\item
\textit{"`Pokażę, że wszystkie liczby naturalne są parzyste. Oczywiście
0 jest liczbą parzystą. Niech $n$ będzie dowolną liczną naturalną i
załóżmy, że dla wszystkich $k<n$, $k$ jest parzyste. Niech $n_1$ i $n_2$
będzie dowolnym rozbiciem liczby $n$ na sumę liczb mniejszych (tzn.
$n=n_1+n_2$). Ponieważ $n_1$ oraz $n_2$ są mniejsze od $n$, $n_1$ i
$n_2$ są parzyste a więc $n$ jest parzyste jako suma dwóch liczb
parzystych.}
\item
\textit{"`Pokażę, że wszystkie dodatnie liczby naturalne są nieparzyste.
Oczywiście 1 jest liczbą nieparzystą. Niech $n$ będzie dowolną liczbą
naturalną i załóżmy, że dla wszystkich $k<n$, $k$ jest nieparzyste.
Niech 1, $n_1$ i $n_2$ będzie dowolnym rozbiciem liczby $n$ na sumę
trzech liczb mniejszych (tzn. $n=n_1+n_2+1$). Ponieważ $n_1$ oraz $n_2$
są mniejsze od $n$, $n_1$ i $n_2$ są nieparzyste a więc $n$ jest
nieparzyste jako suma dwóch liczb nieparzystych i liczby 1.}
\item
\textit{"`Pokażę, że wszystkie proste na płaszczyźnie są równoległe.
Rozważmy jednoelementowy zbiór prostych na płaszczyźnie. Oczywiście
wszystkie proste należące do tego zbioru są do siebie równoległe.
Załóżmy, że w każdym $n$-elementowym zbiorze prostych wszystkie proste
są do siebie równoległe. Rozważmy teraz $n+1$-elementowy zbiór prostych.
Ustalmy w nim jedną prostą $p$. Na mocy założenia indukcyjnego
wszystkie pozostałe $n$ prostych jest do siebie równoległe. Ustalmy
teraz inną prostą $q$. Na mocy założenia indukcyjnego 
wszystkie pozostałe $n$ prostych jest również do siebie równoległe.
Ponieważ relacja równoległości prostych jest przechodnia, wszystkie
$n+1$ prostych jest równoległe. Na mocy zasady indukcji matematycznej
każdy zbiór prostych na płaszczyźnie zawiera wyłącznie proste
równoległe. W szczególności dotyczy to zbioru wszystkich prostych
na płaszczyźnie.}
\end{enumerate}
Które z tych rozumowań jest poprawne?
Wskaż błędy popełnione w błędnym rozumowaniu.
\end{zadanie}

\noindent
W poniższych zadaniach napisz odpowiednie formuły logiczne \emph{nie
używając znaku negacji}.

\begin{zadanie}
Funkcja $f:\real\to\real$ jest \emph{ciągła}, jeśli
\[\forall x_0\in\real.\forall\epsilon>0.\exists\delta>0.\forall x.
(|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\epsilon)\]
Zapisz formułę "`funkcja $f$ nie jest ciągła.''
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Liczba $g\in\real$ jest \emph{granicą} (w sensie Cauchy'ego)
funkcji $f:\real\to\real$ w punkcie $x_0$, jeśli
\[\forall \epsilon>0.\exists\delta>0.\forall x.(0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow
  |f(x)-g|<\epsilon)\]
Zapisz formułę "`liczba $g$ nie jest granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0$.''
\end{zadanie}

\begin{zadanie}
Liczba $g\in\real$ jest \emph{granicą} (w sensie Heinego)
funkcji $f:\real\to\real$ w punkcie $x_0$, jeśli
\[\forall (x_n)_{n\in\nat}.(\lim_{n\to\infty}x_n=
  x_0\wedge\forall n.x_n\neq x_0)\Rightarrow \lim_{n\to\infty}f(x_n)= g\]
Zapisz formułę "`liczba $g$ nie jest granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0$.''
\end{zadanie}

\end{document}
