14.12.2004

Metody probabilistyczne
Lista typowych zadań cz.II

1.	Określ kilka różnych zmiennych losowych na przestrzeni zdarzeń złożonej z 6 jednakowo prawdopodobnych wyników rzutu jedną kostką. Czy na tej przestrzeni można określić zmienne o następujących rozkładach?

x	0	1	
P(X=x)	1/2	1/2	

x	0	1	
P(Y=x)	1/4	3/4	

x	0	1	
P(Z=x)	1/3	2/3	

2.	Ile różnych zmiennych losowych, które przyjmują tylko dwie wartości: 0  i 1, można określić w poprzednim zadaniu? 
3.	Załóżmy, że zmienne losowe X,Y i Z o rozkładach podanych w zadaniu 1 są niezależne.  Oblicz rozkłady zmiennych losowych 
a.	X+Y, 
b.	XY, 
c.	X+Y+Z,
d.	3X+Z.
4.	Dlaczego założenie z poprzedniego zadania o niezależności zmiennych losowych jest istotne? Spróbuj na dwa sposoby określić dwie zmienne X1 i X2 o rozkładzie takim jak zmienna X z zadania 1, tak by 
•	za pierwszym razem X1 i X2 były niezależne a za drugim razem były zależne oraz
•	w przypadku gdy X1 i X2  są niezależne, wartość 2 nie była osiągana przez zmienną X1+X2.
Porównaj rozkłady zmiennej X1+X2 w obydwu przypadkach.
5.	(Chyba troszkę trudniejsze) Spróbuj określić zależne zmienne losowe X1 i X2 o rozkładzie takim jak zmienna X z zadania 1, tak by rozkład zmiennej X1+X2 był taki sam jak wtedy, gdy X1 i X2 są niezależne.
6.	Określ dystrybuanty dla zmiennych z zadań 1 i 3.
7.	W poniższej tabelce przedstawiony jest dystrybuanta rozkładu dwumianowego dla prawdopodobieństwa sukcesu p=1/2 i liczby prób n=10. 
x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
F(x)	0,001	0,011	0,055	0,172	0,377	0,623	0,828	0,945	0,989	0,999	1,000	

Wyznacz jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo osiągnięcia:
a.	jednego sukcesu,
b.	dwóch sukcesów,
c.	dziesięciu sukcesów,
d.	nie więcej niż czterech sukcesów,
e.	co najmniej siedmiu sukcesów,
f.	nie mniej niż czterech, ale nie więcej niż ośmiu sukcesów?
8.	Oblicz wartości oczekiwane, wariancje i odchylenia standardowe zmiennych losowych określonych w zadaniach 1 i 3.
9.	Wykładowca przygotował zestaw 100 pytań egzaminacyjnych. Każdy student losuje jedno pytanie. Jeśli na nie odpowie, zdaje egzamin. Jeśli nie, musi przyjść na egzamin poprawkowy, który przebiega według takich samych zasad. Jaka jest oczekiwana liczba niezdanych egzaminów dla studenta, który nauczył się odpowiedzi do:
a.	10-ciu pytań,
b.	20-stu  pytań,
c.	40-stu pytań?
Przyjmujemy realistyczne założenie, że student liczy na szczęście i nie doucza się pomiędzy kolejnymi egzaminami
10.	W następnym roku wykładowca zmienił zasady egzaminowania. Po pierwsze przygotował zestaw jedynie 20 pytań. Teraz każdy student losuje 4 pytania. Egzamin jest zdany, jeśli student odpowie na co najmniej 3 pytania. W przeciwnym razie, podobnie jak poprzednio, student musi przyjść na egzamin poprawkowy odbywający się na takich samych zasadach jak egzamin w pierwszym terminie. Jaka jest oczekiwana liczba niezdanych egzaminów dla studenta, który nauczył się odpowiedzi do:
a.	10-ciu pytań,
b.	15-stu pytań?
11.	Załóżmy, że na roku jest 80-ciu studentów. Załóżmy ponadto, że wszyscy studenci uczą z tych samych (jedynych jakie mają) notatek i  każdy z nich zna odpowiedzi na te same pytania. Jaka jest oczekiwana liczba studentów, którzy zdadzą egzamin w pierwszym terminie, jeśli przyjmiemy warunki:
a.	zadania 8a,
b.	zadania 8b,
c.	zadania 8c,
d.	zadania 9a,
e.	zadania 9b?
12.	Okazało się, że na wykład uczęszczało dwóch studentów (choć raczej należy przypuszczać, że były to dwie studentki) i na roku utworzyły się dwie grupy studentów, każda ucząca się z innych notatek. Każdy student z pierwszej grupy potrafi odpowiedzieć na 23 pytania,  a każdy student z drugie grupy – na 37 pytań. Egzamin przebiega według reguł z zadania 8. Jaka jest oczekiwana liczba studentów, którzy zdadzą egzamin w pierwszym terminie, jeśli:
a.	Obie grupy liczą po 40 studentów,
b.	Pierwsza grupa liczy 20, a druga grupa liczy 60 studentów?
13.	Rozwiąż wszystkie zadania do rozdziałów 9.3 i 9.4 książki Matematyka dyskretna  autorstwa Ross’ a i  Wright’a
Krzysztof Loryś