Wstęp do programowania

Metody Probabilistyczne

Sprawdzian Nr 1

22.11. 2004

Nazwisko:    Debeściak	
Imię:             Max	
Nr indeksu:  WSKiZ007	
Pseudonim:	
1	2	3	4	5	6	7	Suma	

     
1.	W grupie 100 pracowników 40 ma wyższe wykształcenie a  50 zna język angielski. Wśród pracowników z wyższym wykształceniem tylko 10 nie zna angielskiego. 
a.	Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pracownik zna angielski lub ma wyższe wykształcenie?
b.	Jakie jest prawdopodobieństwo, że grupie dwóch losowo wybranych pracowników, każdy z nich zna angielski lub ma wyższe wykształcenie?
c.	Jakie jest prawdopodobieństwo, że w grupie dwóch losowo wybranych pracowników jeden nie ma wyższego wykształcenia, ale zna angielski, a drugi nie zna angielskiego, ale ma wyższe wykształcenie.

Rozwiązanie:
Najpierw przypatrzmy się dokładniej zbiorowi pracowników. Z danych zadania możemy  łatwo wyliczyć, że::	
•	Spośród pracowników z wyższym wykształceniem 30 osób zna język angielski. 
•	Ponieważ wszystkich pracowników znających angielski jest 50-ciu, więc wśród nich jest 20-stu bez wyższego wykształcenia.

Graficznie możemy przedstawić zbiór pracowników następująco:

20

30

10

Pracownicy z wyższym wykształceniem

Pracownicy ze znajomością j.angielskiego

Rozwiązanie a:

Ponieważ pracowników znających język angielski lub mających wyższe wykształcenie jest 60-ciu, więc odpowiedzią jest 60/100 = 0.6.

Rozwiązanie b: 
Wszystkich par pracowników jest  (10099)/2
Pracowników, którzy spełniają nasze kryteria (tj. mają wyższe wykształcenie lub znają język angielski) jest 60-ciu, a więc par takich pracowników jest (6059)/2
Stąd szukane prawdopodobieństwo wynosi: (6059)/(10099) = 59/165.

Rozwiązanie c:
Pracowników znających język angielski, a nie mających wyższego wykształcenia jest 20-stu. 
Z kolei pracowników mających wyższe wykształcenie a nie znających angielskiego jest 10-ciu. 
Stąd ‘’dobrych’’ par jest 1020=200. Tą liczbę trzeba podzielić przez liczbę wszystkich par, a więc mamy 
200/((10099)/2) = 4/99

2.	W klasach pierwszych pewnej szkoły (klasy a, b, c i d) przeprowadzono anonimową ankietę zadając pytanie „czy masz w domu dostęp do Internetu?” Oto wyniki tej ankiety:

Klasa	Liczba uczniów	Liczba odpowiedzi twierdzących	
a	36	18	
b	25	5	
c	27	18	
d	32	12	

Losowo wybrano po jednym dziecku z każdej klasy.
a.	Jakie jest prawdopodobieństwo, że cała czwórka ma dostęp do Internetu?
b.	Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedno dziecko z tej czwórki ma dostęp do Internetu?
c.	Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jedno dziecko z tej czwórki ma dostęp do Internetu?
d.	Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne dziecko z tej czwórki nie ma dostępu do Internetu?

Rozwiązanie:
Niech A – oznacza wylosowanie ucznia z klasy a z dostępem do Internetu;
Analogiczne znaczenie mają  B,C i D. Wiemy, że 
P(A)= 18/36=1/2	P(B)=5/25=1/5
P(C)=18/27=2/3	P(D)=12/32=3/8
	oraz
P(A)= 1-1/2=1/2	P(B)=1-1/5=4/5
P(C)=1-2/3=1/3	P(D)=1-3/8=5/8

Rozwiązanie a:
Mamy obliczyć P(ABCD). Ponieważ zdarzenia A,B.C i D są niezależne, więc
P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D)=1/21/52/33/8=1/40

Rozwiązanie b:
Szukane prawdopodobieństwo jest równe 1-p, gdzie p jest prawdopodobieństwem obliczonym w punkcie c, czyli
1-1/12 = 11/12

Rozwiązanie c:
Mamy obliczyć 
P((ABCD) (ABCD)(ABCD )(ABCD))
Jak łatwo widać pierwszy składnik tej sumy odpowiada takiemu zdarzeniu, że wylosowane dziecko z dostępem do Internetu pochodzi z klasy a, drugi składnik – temu, że pochodzi ono z klasy b, trzeci – że z klasy c i czwarty- że z klasy d. Ponieważ, te zdarzenia są rozłączne więc, to prawdopodobieństwo jest równe:
P(ABCD) +P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)=
=1/24/51/35/8 + 1/21/51/35/8 + 1/24/52/35/8 + 1/24/51/33/8

Rozwiązanie d:
Mamy obliczyć P(ABCD), co jest równe:
P(A)P(B)P(C)P(D)=1/24/51/35/8= 1/12

3.	Spośród uczniów pierwszych klas (z poprzedniego zadania) wybrano losowo jednego ucznia. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma on dostęp do Internetu?

Rozwiązanie:
Wszystkich uczniów jest 120. Uczniów mających dostęp do Internetu jest 53. Tak więc szukane prawdopodobieństwo równa się 
53/120

4.	Spośród uczniów pierwszych klas (nadal ta sama szkoła)  wybrano losowo jednego ucznia. Okazało się, że ma on w domu dostęp do Internetu. 
a.	Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany uczeń uczęszcza do klasy a?
b.	Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany uczeń uczęszcza do klasy b?
c.	Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany uczeń nie uczęszcza do klasy d?

Rozwiązanie (I-sza metoda):

Niech I – oznacza wylosowanie ucznia, który ma dostęp do Internetu.
I niech A (odpowiednio B,C i D) oznacza wylosowanie ucznia z klasy a (odpowiednio b, c i d).

Rozwiązanie (II-ga metoda; znacznie prostsza):

Wszystkich uczniów jest 120-tu. Każdy z nich miał jednakowe prawdopodobieństwo (równe 1/120) być wylosowanym. Tak było zanim dowiedzieliśmy się, że wylosowany uczeń ma dostęp do Internetu. Teraz o każdym uczniu, który nie ma dostępu do Internetu możemy powiedzieć, że prawdopodobieństwo, iż to właśnie on został wylosowany jest równe zero. Natomiast dla pozostałych uczniów prawdopodobieństwo, iż to oni zostali wylosowani wzrosło, ale nadal jest takie samo dla każdego z nich. Możemy teraz myśleć, że losowanie odbyło się jedynie wśród tych uczniów.

Jak poprzednio przyjmijmy, że I – oznacza wylosowanie ucznia, który ma dostęp do Internetu oraz A (odpowiednio B,C i D) oznacza wylosowanie ucznia z klasy a (odpowiednio b, c i d).

5.	Spośród uczniów pierwszych klas (nadal ta sama szkoła)  wybrano losowo grupę 10 osób: jednego z nich wybrano z klasy „a”, 2 osoby – z klasy „b”, 3 – z klasy „c” i 4 – z klasy „d”. 
a.	Jakie jest prawdopodobieństwo, że cała dziesiątka ma dostęp do Internetu?
b.	Teraz spośród tych dziesięciu osób wybrano losowo jedną.. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta osoba ma dostęp do Internetu?
c.	Okazało się, że osoba wybrana w poprzednim punkcie ma dostęp do Internetu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczęszcza on do klasy a? 

Rozwiązanie a:
To zdarzenie jest równoważne  takiemu, w którym kolejno odwiedzamy klasy  a, b, c i d, losując odpowiednio 1, 2, 3 i 4 dzieci i za każdym razem odnosząc sukces (w tym przypadku chodzi o wylosowanie  dziecka mającego dostęp do Internetu). Tak więc szukane prawdopodobieństwo jest równe:
(18/36)  (5/25)  (4/24)  (18/27)  (17/26)  (16/25)  (12/32)  (11/31)  (10/30)  (9/29)

Losowanie w klasie b

Losowanie w klasie c

Losowanie w klasie d

Losowanie w klasie a

Rozwiązanie b:
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Przyjmując oznaczenia z poprzedniego zadania mamy:
P(I)= P(I/A)  P(A) + P(I/B)  P(B) + P(I/C)  P(C) + P(I/D)  P(D)
Prawdopodobieństwa warunkowe z powyższego wzoru znamy. Pozostałe łatwo wyznaczamy, ponieważ wiemy, że w dziesiątce, z której losujemy, jest jedno dziecko z klasy a, dwoje – z klasy b, troje – z klasy c i czworo – z klasy d.
Stąd
P(I)= (1/2)  (1/10) + (1/5)  (2/10) + (2/3)  (3/10) + (3/8)  (4/10) = 42/100

Rozwiązanie c:
Podobnie jak w zadaniu 4 mamy obliczyć: 
P(A/I) = P(A)  P(I/A) / P(I)
Oczywiście teraz wartości poszczególnych prawdopodobieństw są inne niż w zadaniu 4, ponieważ mamy do czynienia z innym doświadczeniem. Korzystaliśmy już z nich w poprzednich punktach. Podstawiając je do wzoru mamy:
P(A/I) = (1/10)  (1/2) / (42/100) = (1/20)  (100/42) = 5/42

6.	Losowo rzucamy kostkę do gry. Niech ei oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu i oczek. Czy zdarzenia e1 i e2  niezależne?

Rozwiązanie:
Zdarzenia te są zależne, ponieważ P({e1}{e2})P({e1})P({e2}). Mamy bowiem:
•	P({e1})=P({e2})=1/6, czyli P({e1})P({e2})=1/36
•	P({e1}{e2})=P()=0