\documentclass[11pt,a4paper]{amsart}

\pagenumbering{gobble}

\usepackage[boxed]{algorithm2e}
\SetAlgoInsideSkip{medskip} %ustawia skok przed i w ramce
\setalcapskip{13pt}
\SetAlgoSkip{smallskip}
\SetKwInput{KwData}{Dane}
\SetKwInput{KwResult}{Wynik}


\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{polski}
\usepackage{a4wide}

%\usepackage[a4paper,margin=1cm]{geometry}
\usepackage[cp1250]{inputenc}


\title{Repetytorium z matematyki dyskretnej \\ Lista 4}


\sloppy

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{lemat}{Lemat}
\newtheorem{twierdzenie}[lemat]{Twierdzenie}
\newtheorem{wniosek}[lemat]{Wniosek}
\newtheorem{fakt}[lemat]{Fakt}

\SetAlCapFnt{\small}
%\SetAlCapFnt{\footnotesize}
\renewcommand{\algorithmcfname}{Algorytm}%
\newcommand{\Prob}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Expv}{\mathbb{E}}
\newcommand{\Var}{\mathbb{D}^2}




\begin{document}

\maketitle

\subsubsection*{Zadanie 1}

Rozważmy błądzenie losowe po prostej, w każdej chwili czasu punkt może przesunąć się w prawo z prawdopodobieństwem
$p$ lub w lewo z prawdopodobieństwem $1-p$. Korzystając z wyników oraz technik z repetytorium (funkcje tworzące
prawdopodobieństwa), wyraź prawdopodobieństwo dotarcia do punktu $k$ z punktu $0$ w czasie $t$ oraz oczekiwany czas
pierwszego dotarcia do tego punktu.

\subsubsection*{Zadanie 2}[Modyfikacja zadania Banacha]

Matematyk jest (niestety) palaczem. W kieszeniach (lewej i prawej) ma $l$ oraz $p$ zapałek. Za każdym razem,
gdy zapala papierosa, sięga losowo do kieszeni. W końcu sięgnie do pustej kieszeni. Z jakim prawdopodobieństwem
będzie to kieszeń lewa?

Modyfikacja: tym razem ma zapalniczki. Za każdym razem sięga losowo zapalniczkę i losowo też ją wkłada do kieszeni.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że kiedyś sięgnie do lewej (prawej) kieszeni i nie znajdzie tam zapalniczki?

\subsubsection*{Zadanie 3}
Pokaż, że następujące rozkłady mają własność braku pamięci, tj. $$\Prob[X>t+s|X>s]=\Prob[X>t] $$
\begin{itemize}
	\item rozkład wykładniczy z parametrem $\lambda$, tj. o gęstości 
	$$
	\rho(x)=\begin{cases}
		\lambda e^{-\lambda x} & \text{dla } x \geq 0 \\
		0 &\text{dla } x<0
	\end{cases}
	$$
	\item rozkład geometryczny z parametrem $p$, tj.
	$$
	\Prob[X=n]=p(1-p)^{n-1}
	$$
\end{itemize}

\subsubsection*{Zadanie 4}

Suma dwóch rozkładów Poissona jest rozkładem Poissona.
Przypomnienie, rozkład z parametrem $\lambda$: $$\Prob[X=n]=e^{-\lambda}\frac {\lambda^n}{n!}.$$

\end{document}


