\documentclass[11pt,a4paper]{amsart}

\pagenumbering{gobble}

\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{polski}
\usepackage{a4wide}

\usepackage[cp1250]{inputenc}

\title{Repetytorium z matematyki dyskretnej \\ Lista 1}

\sloppy

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{lemat}{Lemat}
\newtheorem{twierdzenie}[lemat]{Twierdzenie}
\newtheorem{wniosek}[lemat]{Wniosek}
\newtheorem{fakt}[lemat]{Fakt}

\newcommand{\Prob}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Expv}{\mathbb{E}}
\newcommand{\Var}{\mathbb{D}^2}




\begin{document}

\maketitle

Pierwsza lista. Nie jestem jeszcze pewien, jak będziemy te zadania rozwiązywać.

\subsubsection*{Zadanie 1}

Rzucamy symetryczną monetą aż do czasu pojawienia się pierwszego orła.
Określ przestrzeń zdarzeń probabilistycznych, ich prawdopodobieństwo.
Zastanów się, jaka jest szansa, że będziemy rzucać w nieskończoność.
Jak jest szansa, że liczba rzutów będzie podzielna przez 2 (3, $m$)?

\subsubsection*{Zadanie 2}

Jaka jest szansa uzyskania ``do ręki'' w pokerze poszczególnych figur
pokerowych (gramy przy użyciu $52$ kart)?

\subsubsection*{Zadanie 3}

Rzucamy symetryczna monetą $2007$ razy. Jaka jest szansa, że wylosujemy
nieparzystą ilość orłów? A jeśli rzucamy $2006$ razy?

\subsubsection*{Zadanie 4}

Udowodnij, że
$$ \Prob[ A \cap  B] \geq \Prob[A] + \Prob[B] - 1 \; .$$

\subsubsection*{Zadanie 5}

Znajdź przykład zdarzeń $A$, $B$, $C$, które nie są niezależne, ale
$$\Prob [A \cap B \cap C] = \Prob [A] \cdot \Prob [B] \cdot \Prob [C].$$

\subsubsection*{Zadanie 6}

Wrzucamy $n$ kulek losowo do $n$ komórek. Jaka jest szansa, że dokładnie
jedna komórka jest pusta?


\subsubsection*{Zadanie 7}

Wybieramy losowo (z równym prawdopodobieństwem) ciąg bitowy
długości $n$. Niech $A$ oznacza zderzenie, iż w danym ciągu jest najwyżej jeden bit
równy $1$ a $B$ oznacza zdarzenie, że w danym ciągu jest zarówno bit równy $1$
jak i bit równy $0$. Czy $A$ oraz $B$ są niezależne? Spróbuj odpowiedzieć na to
pytanie ``intuicyjnie'' 
a dopiero potem wykonaj odpowiednie rachunki.

\subsubsection*{Zadanie 8}

Niech $A$ będzie zdarzeniem losowym. Definiujemy
$$A^1 := A \quad \text{oraz} \quad A^{-1} := A^c$$
Gdzie $A^c$ oznacza dopełnienie $A$.
Niech $A_1, \ldots , A_n$ będą zdarzeniami. Pokaż, że następujące warunki są równoważne:
\begin{enumerate}

\item $A_1, \ldots , A_n$ są niezależne,

\item dla każdego ciągu $(\epsilon_1, \ldots , \epsilon_n) \in \{ -1, 1 \}^n$ zdarzenia
$A_1^{\epsilon_1}, \ldots , A_n^{\epsilon_n}$ są niezależne,

\item dla każdego ciągu $(\epsilon_1, \ldots , \epsilon_n) \in \{ -1, 1 \}^n$ zachodzi
$$
\Prob [A_1^{\epsilon_1} \cap \ldots \cap A_n^{\epsilon_n}]=
\Prob [A_1^{\epsilon_1}] \cdot \ldots \cdot \Prob [A_n^{\epsilon_n}] \; .
$$
\end{enumerate}

\subsubsection*{Zadanie 9}

Pokaż, że wylosowanie ze standardowej talii $52$ kart asa oraz wylosowanie
karty czerwonej (tj. kier lub karo) są zdarzeniami niezależnymi.

\subsubsection*{Zadanie 10}

Niech $A \cap B = \emptyset $ oraz $A$, $B$ są niezależne. Pokaż, że $\Prob[A] = 1$ lub $\Prob[B] = 1$.

\end{document}


